Κόβουμε το τσουρέκι σε φέτες και μετά σε κυβάκια. Βάζουμε τα αυγά σε ένα μπολ και προσθέτουμε το γάλα, την κρέμα γάλακτος, τη ζάχαρη, το εκχύλισμα βανίλιας και ανακατεύουμε καλά. Βουτυρώνουμε ένα ταψί με διαστάσεις 23Χ30εκ. και βάζουμε μέσα τα κυβάκια από το τσουρέκι. Περιχύνουμε με το υγρό μίγμα του γάλακτος και αφήνουμε στην άκρη μισή ώρα για να φουσκώσει το τσουρέκι. Βάζουμε τα μούρα και ανακατεύουμε. Πασπαλίζουμε με την καστανή ζάχαρη και ψήνουμε στους 180°C για 30-40 λεπτά ή μέχρι να ροδίσει η επιφάνεια της πουτίγκας. Την ώρα που θα σερβίρουμε πασπαλίζουμε με ζάχαρη άχνη, στολίζουμε με  επιπλέον μούρα και γαρνίρουμε με φυλλαράκια δυόσμου.