1. Καβουρδίζουμε το βούτυρο: Βάζουμε το βούτυρο σε ένα τηγάνι ή κατσαρολάκι και το λιώνουμε σε μέτρια φωτιά. Συνεχίζουμε το ψήσιμο, ανακατεύοντας συχνά. Αρχικά το βούτυρο θα αφρίσει και στη συνέχεια θα αρχίσουν να εμφανίζονται στον πάτο μικρά καστανά στίγματα. Μόλις αποκτήσει βαθύ χρυσαφένιο χρώμα και εμφανιστούν τα καστανά στίγματα, περίπου σε 5 λεπτά, το κατεβάζουμε αμέσως από τη φωτιά. Σε αυτό το στάδιο έχουμε το γαλλικό beurre noisette, δηλαδή καβουρδισμένο βούτυρο με χαρακτηριστικό άρωμα που θυμίζει φουντούκι.
2. Αδειάζουμε το καβουρδισμένο βούτυρο σε ένα μεγάλο γυάλινο μπολ, μαζί με όλα τα καστανά υπολείμματα που βρίσκονται στον πάτο του τηγανιού. Το αφήνουμε να κρυώσει για 15–20 λεπτά. Προσθέτουμε την καστανή και τη λευκή ζάχαρη και ανακατεύουμε καλά με σύρμα (χτυπητήρι). Προσθέτουμε το αυγό, τους κρόκους και τη βανίλια και ανακατεύουμε μέχρι να έχουμε ένα λείο και γυαλιστερό μίγμα. Σε ένα άλλο μπολ, αναμιγνύουμε το αλεύρι, το μπέικιν πάουντερ, τη μαγειρική σόδα και το αλάτι. Τα προσθέτουμε σιγά – σιγά στο μίγμα του βουτύρου και ανακατεύουμε με μια σπάτουλα, ίσα που να ενωθούν τα υλικά. Δεν ανακατεύουμε πολύ. Προσθέτουμε τις δύο σοκολάτες και ανακατεύουμε απαλά. Σκεπάζουμε το μπολ και βάζουμε τη ζύμη στο ψυγείο για 2 ώρες περίπου.
3. Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 180°C στον αέρα και στρώνουμε ένα ταψί με αντικολλητικό χαρτί. Με ένα σκουπ παγωτού παίρνουμε ζύμη περίπου 75γρ. και τη πλάθουμε σε μπάλα. Δεν την πιέζουμε και δεν την πλαταίνουμε. Την τοποθετούμε στο ταψί, αφήνοντας αρκετή απόσταση από την επόμενη μπάλα μπισκότου.
4. Ψήνουμε για περίπου 10-12 λεπτά, μέχρι οι άκρες να σταθεροποιηθούν, ενώ το κέντρο πρέπει να παραμένει μαλακό και να φαίνεται ελαφρώς άψητο. Βγάζουμε το ταψί από τον φούρνο και αφήνουμε τα cookies επάνω στο ταψί για 10 λεπτά, χωρίς να τα μετακινήσουμε. Καθώς κρυώνουν θα σταθεροποιηθούν, διατηρώντας μαλακό και chewy το εσωτερικό τους.

Σημείωση: Μπορούμε να φυλάξουμε τις άψητες μπάλες ζύμης στην κατάψυξη. Όταν θέλουμε να τις ψήσουμε, τις τοποθετούμε κατευθείαν από την κατάψυξη στο ταψί και ψήνουμε στον προθερμασμένο φούρνο για περίπου 2–3 λεπτά περισσότερο.